掛け算の順序

以前にもこんなエントリを書いた気がするのですが、

掛け算の考え方

「りんごがかごに3こずつ乗っていて、かごが4こあったら全部でいくつ?」の式は「3×4であって4×3は間違い!答えだけあっていてもダメ!」という考え方がしっくりこない。

一時期ネットでも結構な議論があったのだが、僕なりに最近やっと違和感の理由を消化できた気がするのでボツボツ書いてみようかと思う。

女房が子供に教えているのは「”ずつ”が付いているほうが先!」の一点張りである。これはこれでテストで100点を取るための方法なので間違ってはいないのかもしれない。

しかし、これは掛け算を、少なくとも二つある視点のうちの一つからしか見ていないのである。

  1. 一つのかごから3個取り出す作業を4回行った結果の操作の数
  2. 四つのかごから1つずつ取り出す操作を3回行った結果の操作の数

どうも掛け算の順序にこだわる人は、後者の考え方を「ありえない」「わざわざこんなとらえ方は普通しない」と思っているようなのだ。

「普通そんな考え方はしない」なら問答無用で間違いにするのか、という突っ込みもあるのだが、そもそも「普通そんな考え方はしない」ということの方が間違っているのではないかという気がするのだ。

割り算の考え方

割り算について考えてみる。割り算は掛け算と違い二つの問題を作ることができることがわかる。

「12個のみかんを3個ずつかごに入れると、かごは全部で何個できるか」

「12個のみかんを四つのかごに入れると、一つのかごにいくつ入るか」

前者の問題を頭の中で考えてみると、一つのかごに3個のみかんを入れていくとみかんが無くなった時に4個のかごができている、というような操作が浮かぶ。

後者はどうだろう。この時点では一つのかごに何個みかんが入るかはわからないのだから、「四つのかごにみかんをひとつずつ入れる操作を、みかんがなくなるまで繰り返すと3個ずつはいる」という操作をするのではないだろうか。

この後者の考え方というのは、掛け算で否定された二番目の考え方と操作が逆なだけで全く同じなのである。

この後者の問題を割り算として理解できるなら、掛け算の問題を「かごから一つずつみかんを取り、なくなるまで繰り返した際の操作の数」として理解していても何の不思議もない。少なくとも「間違った考え方である」と断言されるような理由はないのではないかと思うのだ。

掛け算のとらえ方は割り算同様二つある。まだ割り算を習っていない間は確かに後者のようなとらえ方をする子供は少ないだろう。だからといって確認もせず「間違い」と決めつけるのはあまりにも手抜きすぎやしないだろうか。

「そんなこといちいち個人に確認できない」なら間違いにしなければ済むことなのだ。間違ってはいないのだから。

どうせ割り算を習う時には後者の発想を理解できなければならないはずで、その時には「掛け算も同様に、どっちにとらえても正解」にしなければおかしいのである。

小学校の先生や教材会社の人たちは、「ずつが先でないから×」と子供の頭の中で何が考えられているかを個別に確認することもなく決めつけることを避けてもらいたい、と切に願うものである。

ただ、本当のことを言うと、最初に掛け算を習う段階で「後者の考え方でも掛け算は解釈できる」ということをきちんと教えるべきだと思うのである。どうせ割り算を教える時にやらなければならないのだから。

乗算の可換性と除算

除算は減算の繰り返し

マテマティカ2の再放送を見ていたら、昔のタイガー計算機が出てきて、除算を引き算の繰り返して置き換えても差し支えないことを説明していた。

41個の卵から6個ずつ取っていくと、6回取れて5余るから41÷6=6あまり5とのことである。

この場合除数と商が同じになってしまい、ちょっと分かりにくくなっている(逃げている?)のだが、51個の卵から6個ずつ取っていくと、8回取れて3余るから、

51÷6=8あまり3 という割り算として解釈できる、と言っているのだ。

みんな納得していたようだが、本当にそれでいいのか君たち。

話を単純にするために、12個のボールを、4個ずつ3つに分けている絵を考えてみよう。

12を3個のカタマリ四つで示す図

12を3個のカタマリ四つで示す

割り算の問題 その1

この絵から割り算の問題を素直に考えると、

「12個のボールを四人で分けると、一人何個になるでしょう」

というような問題になり、式と答えは

12÷4=3 答え 3(個)

というような問題になる。

割り算の問題 その2

しかし、先のマテマティカの問題から考えると、この同じ図から

「12個のボールを3個ずつ分けると、何人に分けられるでしょう」

「12÷3=4 答え 4(人)」

という問題が考えられ、このような式が立てられることになる。

この問題でこの式を立てる過程には、結構大胆というか無責任な飛躍があるように思われる(間違っていると言っているわけではありません)のだが、小学生でも呑み込みのいい子は、この問題を見て式を立てて答えを導いているように思える。

小学校の先生は、この後者の問題にこの式を立てられることについて、どう子供に説明しているのだろうか?

除算を減算の繰り返しとして帰納的に定義すると後者の説明はできるように思えるのだが、子供にそのような定義を教えている?

乗算の問題 その1

さて、同じ絵から乗算の問題を作ってみることにしよう。最初に思いつくのはこれだろう。

「4人の人にボールを3個ずつ配るには、何個ボールが必要でしょう」

「3×4=12 答え 12(個)」

以前、この問題に「4×3=12 答え 12(個)」と答えた子供に「×」が付けられ、話題になっていた。実はこのエントリの主たるテーマは、その議論を読んでいた時のモヤモヤから発生しているのだが、それについてはここでは直接触れることを避ける。

乗算の問題 その2

さて、除算の場合は二つの問題が考えられた。乗算の場合はどうだろう。

除算の時は、可換な項を入れ替えた二つの式が立てられる(と思われる)二つの問題を考えられたが、乗算の場合も同様にできるだろうか?つまり、式を立てると、「4×3=12 答え 12(個)」が正解となるような問題はあるのだろうか?

「3個ずつのボールを4人の人に配るには、何個ボールが必要でしょう」

「4人が3個ずつボールを持っていますボールは全部で何個でしょう」

色々考えてみても、たぶんこれらの問題はすべて「3×4=12 答え 12(個)」と式を立てないと今の小学校では「×」をもらう問題になってしまうす。女房曰く「基本的には、『ずつ』が付いている方を先に書かないとダメ」ということらしい。

ただし女房は「『ずつ』の方を先に書いてはいけない、例外的な問題に遭遇したことがある。思い出せないけど。」とも言っているので、それはもしかして「乗算その2」に相当する問題なのかもしれない。

上の絵から、式が「4×3=12 答え 12(個)」となるような問題が考えられるのだろうか?それが今の僕の最大の疑問なのである。