掛け算の順序

以前にもこんなエントリを書いた気がするのですが、

掛け算の考え方

「りんごがかごに3こずつ乗っていて、かごが4こあったら全部でいくつ?」の式は「3×4であって4×3は間違い!答えだけあっていてもダメ!」という考え方がしっくりこない。

一時期ネットでも結構な議論があったのだが、僕なりに最近やっと違和感の理由を消化できた気がするのでボツボツ書いてみようかと思う。

女房が子供に教えているのは「”ずつ”が付いているほうが先!」の一点張りである。これはこれでテストで100点を取るための方法なので間違ってはいないのかもしれない。

しかし、これは掛け算を、少なくとも二つある視点のうちの一つからしか見ていないのである。

  1. 一つのかごから3個取り出す作業を4回行った結果の操作の数
  2. 四つのかごから1つずつ取り出す操作を3回行った結果の操作の数

どうも掛け算の順序にこだわる人は、後者の考え方を「ありえない」「わざわざこんなとらえ方は普通しない」と思っているようなのだ。

「普通そんな考え方はしない」なら問答無用で間違いにするのか、という突っ込みもあるのだが、そもそも「普通そんな考え方はしない」ということの方が間違っているのではないかという気がするのだ。

割り算の考え方

割り算について考えてみる。割り算は掛け算と違い二つの問題を作ることができることがわかる。

「12個のみかんを3個ずつかごに入れると、かごは全部で何個できるか」

「12個のみかんを四つのかごに入れると、一つのかごにいくつ入るか」

前者の問題を頭の中で考えてみると、一つのかごに3個のみかんを入れていくとみかんが無くなった時に4個のかごができている、というような操作が浮かぶ。

後者はどうだろう。この時点では一つのかごに何個みかんが入るかはわからないのだから、「四つのかごにみかんをひとつずつ入れる操作を、みかんがなくなるまで繰り返すと3個ずつはいる」という操作をするのではないだろうか。

この後者の考え方というのは、掛け算で否定された二番目の考え方と操作が逆なだけで全く同じなのである。

この後者の問題を割り算として理解できるなら、掛け算の問題を「かごから一つずつみかんを取り、なくなるまで繰り返した際の操作の数」として理解していても何の不思議もない。少なくとも「間違った考え方である」と断言されるような理由はないのではないかと思うのだ。

掛け算のとらえ方は割り算同様二つある。まだ割り算を習っていない間は確かに後者のようなとらえ方をする子供は少ないだろう。だからといって確認もせず「間違い」と決めつけるのはあまりにも手抜きすぎやしないだろうか。

「そんなこといちいち個人に確認できない」なら間違いにしなければ済むことなのだ。間違ってはいないのだから。

どうせ割り算を習う時には後者の発想を理解できなければならないはずで、その時には「掛け算も同様に、どっちにとらえても正解」にしなければおかしいのである。

小学校の先生や教材会社の人たちは、「ずつが先でないから×」と子供の頭の中で何が考えられているかを個別に確認することもなく決めつけることを避けてもらいたい、と切に願うものである。

ただ、本当のことを言うと、最初に掛け算を習う段階で「後者の考え方でも掛け算は解釈できる」ということをきちんと教えるべきだと思うのである。どうせ割り算を教える時にやらなければならないのだから。

掛け算の順序」への2件のフィードバック

  1. 4×3が間違いとされている理由は、「それだと『りんごがかごに4ずつ乗っていて、かごが3こ』になっちゃう」からだと思います。賛否の文献整理をしたことがあります。
    http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20131116/1384560000

    二つの掛け算の見方は、世界的(算数教育において)にはVergnaudが1980年代に書いたものが有名です。2種類を示した上で、一方は掛け算を学習する子には難しいことも指摘されています。この記事の文章題をもとに書くと、「りんご12個は、かご4こ+4こ+4こではない」となります。
    http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20140924/1411511070

    ところで2年・3年を検討の対象としているようですが、1年の時点で、掛け算や割り算の素地学習をしているのはご存知でしょうか。「子どもが 3人 います。みかんを 1人に 2こずつ あげます。みんなで なんこ いりますか。」が啓林館の1年の教科書にある(3+3ではなく2+2+2で総数を求めます)ほか、幼児教育で知られるこぐま会の市販問題集にも載っています。

  2. >それだと『りんごがかごに4ずつ乗っていて、かごが3こ』になっちゃう」
    4×3という式に、そのような意味を一方的にマッピングしてしまうこと自体に根拠がないというのが上の主張です。

    >2種類を示した上で、一方は掛け算を学習する子には難しいことも指摘されています。
    難しいことだから、きっとわかってないからと本人に確かめもせず「×」にする、ということが問題だというのが上の主張です。

    >。「子どもが 3人 います。みかんを 1人に 2こずつ あげます。みんなで なんこ いりますか。」
    この問題は、「みかんが6個あります。3人の子供に配ると一人何個ずつになりますか?」という問題を回答するための素地にはなっていないと思います。僕にはそういう素地学習がすっぽり欠けていることが、このような問題を起こしているように思われます。

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